第1回演習問題
2022/06/14
演習問題
1
以下の数列の収束性を確認せよ.
1-1
が収束するかどうかを確認せよ.
(数列の収束性)
- 論法 数列
と実数 について考える. 任意の
に対してある自然数 が存在し, を満たす全ての自然数 に対して,
が成り立つとき, は に収束するという. 一行で書くと,
[前計算]
いきなり
これが,
になればいいのか!!という思考.
[解答]
任意の正数
このとき,
したがって,
1-2
が収束するかどうかを判定せよ.
[解答]
任意の正数
よって,
1-3
が収束するかどうかを判定せよ.
よって,
1-4
が収束するかどうかを判定せよ.
見るからに収束しないので,
- 論法の逆
ただし,この場合だと「ある
に収束しない」ということしか言えない. そのため,条件を付け加えて,
とする必要がある.
[方針]
下のように場合分けをすることで,
1 | d |
1 | d |
[解答]
ある実数
とおくと,
が成立するため,数列
1-5
が収束するかどうかを判定せよ.
同様に,
2
以下の関数が連続か不連続かを確かめ,定義に従って厳密な証明を与えよ.
は 有 理 数 は 無 理 数
(関数の連続性)
- 論法 関数 が点 で連続であるとき, 関数
が全ての点で連続であるとき,
2-1
[前計算]
よって,
2-2
であるから,
2-3
次の関数が連続であるかどうかを確かめよ.